EBOB - EKOK

A. ASAL SAYILAR

1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sayıları 1 ile 20 arasındaki asal sayılardır.

• 2 den başka çift asal sayı yoktur.
• 0 ve 1 doğal sayıları asal sayı değildir.
• Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için küçükten büyüğe kendisinden önceki asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir.

B. ARALARINDA ASAL SAYILAR

1 den başka pozitif ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.

C. BİR DOĞAL SAYIYI ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA

12 sayısının tüm çarpanlarının kümesini yazalım:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Bu çarpanların bazıları asal, bazıları da değildir. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz. Doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına, bu doğal sayının asal çarpanları denir. Bir doğal sayı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılabilir.

D. BİR DOĞAL SAYININ BÖLENLERİ (ÇARPANLARI)

Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayma sayılarına, o sayının bölenleri denir.

• Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına kalansız bölünür.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenleridir.

F. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (E.B.O.B.)

Bir sayı, iki farklı doğal sayının böleni ise, buna doğal sayıların ortak böleni denir.

İki ya da daha fazla sayma sayısının ortak bölenleri arasında en büyük olanına, bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve e.b.o.b. biçiminde gösterilir.

• E.b.o.b. bulunurken verilen sayıları aynı anda bölen asal sayıların çarpımı bu sayıların e.b.o.b. unu verir.
• İki veya daha fazla doğal sayının e.b.o.b. u bu sayıların ortak asal çarpanlarının her birine, ayrı ayrı bölünür.

G. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (E.K.O.K.)

Bir sayı iki farklı doğal sayının katı ise, buna doğal sayıların ortak katı denir.

İki ya da daha fazla sayma sayısının ortak katları kümesinin en küçük elemanına, bu sayıların en küçük ortak katı denir ve (e.k.o.k.) biçiminde gösterilir.

İki sayma sayısının çarpımı, bu sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımına eşit olmayabilir. A x B = (A; B)e.b.o.b. x (A; B)e.k.o.k.şeklindedir.

A ile B aralarında asal ise, (A; B)e.b.o.b. = 1 (A; B)e.k.o.k. = A x B dir.

• A ve B sayma sayıları ve A < B olmak üzere;

(A; B)_e.b.o.b. £ A < B £ (A; B)_e.k.o.k.şeklindedir.

Sıralama

SIRALAMA

A. TANIM

a, b ye eşit değilse, “a ¹ b” biçiminde yazılır.

a ¹ b ise bu durumda;

a > b, “a büyüktür b den” ya da

a < b, “a küçüktür b den” olur.

Gerçel (reel) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.

Yukarıdaki sayı doğrusuna göre; a < b < c dir.

x > y, x ³ y, x < y ve x £ y şeklindeki ifadelere eşitsizlik denir.

B. SIRALAMANIN ÖZELİKLERİ

x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,

1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
   •  a < b  ise  a + c < b + c  dir.
   •  a < b  ise  a – c < b – c  dir.
   
   
2. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü aynı kalır.
   •  a < b  ve  c > 0  ise  a × c < b × c  dir.
   •  a < b  ve  c > 0  ise  dir.
   
   
3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
   •  a < b  ve  c < 0  ise  a × c > b × c  dir.
   •  a < b  ve  c < 0  ise  dir.
   
   
4. Eşitsizliklerde geçişme özeliği vardır.

(x < y ve y < z) ise x < z dir.

5. Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir; fakat çıkarılamaz.

(x < y ve a < b) ise x + a < y + b dir.

6. x ile y aynı işaretli olmak üzere,

7. x ile y zıt işaretli olmak üzere,
   
8.  ve  0 < a < b ise aⁿ < bⁿ  dir.
9.  ve a < b < 0  olsun.

n çift sayma sayısı ise aⁿ > bⁿ dir.

n tek sayma sayısı ise aⁿ < bⁿ dir.

10.  – {1} olmak üzere,
    •  a > 1 ise, aⁿ > a  dır.
    •  0 < a < 1 ise, aⁿ < a  dır.
    •  – 1 < a < 0  ise,  aⁿ > a  dır.
    • 

11. (0 < a < b ve 0 < c < d) ise,

0 < a × c < b × d

f(x) < g(x) < h(x) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi; f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi ile g(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesinin kesişimidir.

•  a × b < 0  ise  a ile b ters işaretlidir. •  a × b > 0  ise  a ile b aynı işaretlidir.

C. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI

1. Kapalı Aralık

a ile b reel sayılar ve a < b olsun.

a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme,

[a, b] veya a £ x £ b , x Î  şeklinde gösterilir ve bu şekilde tanımlanan aralıklara kapalı aralık denir.

2. Açık Aralık

a, b Î  ve a < b olsun.

[a, b] kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.

Açık aralık, x Î  olmak üzere, (a, b) biçiminde ya da a < x < b biçiminde gösterilir.

3. Yarı Açık Aralık

a, b Î  ve a < b olsun.

[a, b] kapalı aralığının uç noktalarından biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık aralık denir.

[a, b] kapalı aralığından b noktası çıkarılırsa [a, b) veya x Î  olmak üzere,

a £ x < b yarı açık aralığı elde edilir.

[a, b] kapalı aralığından a noktası çıkarılırsa (a, b] veya x Î  olmak üzere, a < x £ b yarı açık aralığı elde edilir.

[a, b] aralığının uzunluğu, b – a dır.

Mutlak Değer

MUTLAK DEĞER

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır.

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

1. |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
2. |x × y| = |x| × |y|
3. |xⁿ| = |x|ⁿ
4. y ¹ 0 olmak üzere,

5. |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
6. a ³ 0 ve x Î  olmak üzere,

|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

7. |x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
8. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

      |x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

9. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

      K = |x – a| – |x – b|

olmak üzere,

x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

10. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| < a ise, –a < x < a dır.

b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.

11. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.

b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.

• a < b ve c Î  olmak üzere,

      |x + a| + |x + b| = c

eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise, x = –a dır.

x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)

–b £ x, –b < x £ –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b £ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b £ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

2. Durum

–b < x £ –a ise, –x – a + x + b = c olur.

Bu denklemin kökü –b < x £ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

2. Yöntem

a < b ve c Π olmak üzere,

      |x + a| + |x + b| = c ... (¶)

eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.

(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

      Ç = [–b, –a] dır.

2. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

      Ç = Æ dir.

3. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,

(¶) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (¶) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (¶) daki denklemin çözüm kümesi,

      Ç {–b – D, –a + D} olur.

Üslü İfadeler

ÜSLÜ İFADELER

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.

k × aⁿ ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban, n ye üs denir.

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ

1. a ¹ 0 ise, a⁰ = 1 dir.
2. 0⁰ tanımsızdır.
3. n Î  ise, 1ⁿ = 1 dir.
4. 
   
   
5. (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m = a^m×n
6. 
   
   
7. 
   
   
8. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
9. Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
10. n bir tam sayı ve a sıfırdan farklı bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,
    a) (–a)²ⁿ = a²ⁿ ifadesi daima pozitiftir.
    b) (–a²ⁿ) = –a²ⁿ ifadesi daima negatiftir.
    c) (–a)^{2n + 1} = –a^{2n + 1} ifadesi; a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.
11. (n + 1) basamaklı  sayısı a × 10ⁿ ye eşittir.

•   •

x, n basamaklı olmak üzere,

C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

1. x × aⁿ + y × aⁿ – z × aⁿ = (x + y – z) × aⁿ
2. a^m × aⁿ = a^{m + n}
3. a^m × b^m = (a × b)^m
4. 
   
   
5. 

D. ÜSLÜ DENKLEMLER

1. a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ –1 olmak üzere,

a^x = a^y ise x = y dir.

2. n, 1 den farklı bir tek sayı ve xⁿ = yⁿ ise,

x = y dir.

3. n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xⁿ = yⁿ ise,

x = y veya x = –y dir.

4.